Deducción de leyes físicas por análisis dimensional
Tarjetas para dominar la obtención de fórmulas mediante monomios dimensionales y el teorema Pi, con foco en el examen.
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Questions Covered in This Set
10 cards to master
¿Cuáles son los 4 pasos de la plantilla de examen para deducir una ley?
1) Listar variables relevantes con sus dimensiones en {M,L,T}; 2) escribir el monomio y = C·x₁^a₁···xₙ^aₙ; 3) igualar exponentes de M, L y T (sistema lineal); 4) resolver y discutir (ley única o aparición de un grupo Π con función desconocida).
¿Cuándo el análisis dimensional entrega la ley completa salvo una constante?
Cuando n − k = 0, es decir, cuando el número de variables es exactamente el rango de la matriz dimensional más uno: sólo queda un grupo adimensional y f se reduce a una constante.
Deduce el periodo del péndulo simple a partir de m, ℓ y g.
T = C·√(ℓ/g). De M: a = 0 (la masa no entra); de T: 1 = −2c → c = −1/2; de L: b = 1/2. El método no da C = 2π.
¿Qué ocurre si incluyes la amplitud angular θ₀ en el péndulo?
Como θ₀ es adimensional, el resultado pasa a ser T = √(ℓ/g)·f(θ₀): los grupos adimensionales ya dados (ángulos, coeficientes, d/L) nunca quedan determinados por el método.
Ley de Taylor–Sedov: ¿qué variables se usan y qué resultado se obtiene?
R, t, E (ML²T⁻²) y ρ (ML⁻³), despreciando la presión ambiente. n = 4, k = 3 → un solo Π: R(t) = C·(E t²/ρ)^{1/5}.
Comprueba dimensionalmente que E t²/ρ tiene dimensiones de L⁵.
[E t²/ρ] = (ML²T⁻²)(T²)(M⁻¹L³) = L⁵ ✔, por lo que (E t²/ρ)^{1/5} es una longitud.
¿Cómo estimó Taylor la energía de la bomba de Trinity con una gráfica?
Graficando (5/2)·log R frente a log t se obtiene una recta de pendiente 1; la ordenada en el origen da E (con C ≈ 1), resultando ~20 kilotones de TNT.
Arrastre sobre una esfera: F = f(ρ, v, D, μ). ¿Qué predice el teorema Pi?
n = 5, k = 3 → 2 grupos: Π₁ = F/(ρv²D²) y Π₂ = Re = ρvD/μ, luego F = ρv²D²·φ(Re). El método no da φ, pero justifica el principio de semejanza.
¿Cómo se obtiene la ley de Stokes por análisis dimensional?
Suponiendo régimen viscoso dominante se elimina ρ: con F, v, D, μ (n = 4, k = 3) resulta F = C·μ v D, siendo C = 3π un valor que el método no entrega.
¿Cuáles son las limitaciones esenciales del análisis dimensional?
No determina constantes numéricas puras, no determina las funciones φ de los grupos Π, no detecta grupos adimensionales preexistentes y depende por completo de elegir correctamente las variables relevantes.
